2021考研 MPAcc/MAud/MLIS督学陪练班 专题一：整除及带余数问题 1、数字整除的判定 类型一：看末几位的整除情况： 2或5：判断一个数能否被2或5整除，只要看这个数的末一位就可以了。例如： 判断54289能否被2或5整除，因为末一位9不能被2或5整除，所以54289 不能被2或5整除。 4或25：判断一个数能否被4或25整除，只要看这个数的末两位就可以了。例 如：判断54250这个数能否被4或25整除，只要看这个数的末两位50，因为50 不能被4整除，所以54250不能被4整除;50能被25整除，所以54250能被25 整除。 8或125：判断一个数能否被8或125整除，看这个数的末三位。例如：判断75625 能否被8或125整除，末三位625不能被8整除，所以75625不能被8整除;625 能被125整除，所以75625能被125整除。 类型二：看各位数字之和的整除情况： 3或9：判断一个数能否被3或9整除，看这个数字的各个数位之和，如果各个 数位之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。例如：判断85263能否被 3或9整除，将85263的各个数位数字做和，8+5+2+6+3=24，24能被3整除，所 以85263能被3整除;但24不能被9整除，所以85263不能被9整除。 方法三：其他合数 合数的整除判定，将合数拆成两个互质数相乘的形式，分别去判定。例如判断一 个数字能否被12整除，我们将12拆分成12=3×4的形式，然后用3和4分别去 判定。如果这个数既能被3整除又能被4整除，那么这个数才能被12整除。如 果这个数不能被3或4整除，则这个数不能被12整除。 2、带余除法 设 a、b?Z，这里设 a ? b，且 b ? 0，存在唯一的整数对(q,r)，使 a=bq ? r， 其中0 ? r ? b。这个定理称为整数带余除法定理。 {题型一：整除、带余除法} 【方法点睛】此类题型主要考试有4种类型： 官网：www.wenduedu 电话：400-011-8090 1 地址：北京市海淀区西三环北路72号世纪经贸大厦B座1608 2021考研 MPAcc/MAud/MLIS督学陪练班 类型1、整除问题：主要是求解几个数的公倍数的问题，而公倍数是几个数的最 小公倍数的倍数，抓住这个特点即可解题。 【例1】三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同， 则最大的数与最小的数相差（ ）． （A）18 （B）20 （C）22 （D）24 （E）26 【例2】有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的 各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身． （A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）6 【例3】若n是一个大于100的正整数，则n 3 ? n一定有约数（ ）． （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）12 【例4】正整数N的8倍与5倍之和，除以10的余数为9，则N的最末一位 数字为（ ）． （A）2 （B）3 （C）5 （D）9 （E）7 【例5】1531除以某质数，余数得13，这个质数的各数位之和为（ ）． （A）7 （B）2 （C）4 （D）5 （E）8 类型2、带余除法中同余问题：n,a,b,c,r均为正整数，n除以 a余r，n除以b余 r，n除以c余r，则n=?a,b,ck ?r，k为正整数。（n减去r就可以整除a,b,c， 故为a,b,c的公倍数。） 【例6】一个盒子装有不多于200颗糖，每次2颗，3颗，4颗或6颗的取 出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒 子里共有m颗糖，m的各个数位之和为（ ）． （A）8 （B）10 （C）4 （D）12 （E）6 类型3、带余除法中除数和余数差值恒定问题：n,a,b,c,r均为正整数，n除以a 余a ? r，n除以b余b ? r，n除以c余c ? r，则n=?a,b,ck ? r，k为正整数。（n 加上r就可以整除a,b,c，故为a,b,c的公倍数。） 【例7】一盒围棋子，4只4只数多3只，6只6只数多5只，15只15只数 多14只，这盒围棋子在150~200之间．则这盒围棋子11只的数，最后余（ 只． ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6 类型4、带余除法问题：n,a,b,r1,r2均为正整数，n除以a余r1，n除以b余r2，a? b， 在求解时先写出除数较大的数的表达式n ? ak ? r1，再变形成除数小的带余除法 形式n ? ak ? r1=bk ? (a ?b)k ? r1，只要满足(a ?b)k ? r1 ? bk0 ? r2即可，k